2009年11月12日
三人の囚人の問題
なぜだか分からないけど、AとBとCのあなたは死刑囚になってしまいました。
そして、なぜだか分からないけど、ありがたいことにこの3人のうち、一人が恩赦されることになりました。
しかし、3人共誰が死刑を免れるのか分かりません。
そこで、あなたは結果を知っている看守のかつを君に
「AとBのうちのどちらかが死刑になるのだから、処刑される方の名前を教えてくれても私に情報を与えることにならないだろう。その一人を教えてくれないか？」
と頼みました。
次のノーベル平和賞最大の候補と目されるほど優しさと慈しみに湧き溢れる、かつを君は目前の死に恐れおののく、この哀れな子羊に教えることにしました。
「囚人Aは処刑されるよ♪」
これを聞いたあなたは
「最初、自分が助かる確率は3分の1だった。でも、今はAの処刑が確定して、残るのは自分とBだけなので、助かる確率は2分の1に上がった！やっほーい♪」
と喜びました。
くだらん冗談はこの辺にして、本題に入りましょう。笑
前回の記事で出題した問題とこの三囚人問題は本質的に同じです。
では、”あなた”の最期のセリフを検証してみましょう。
一見、あなたの論理に隙は全くないように見えますが、結論から言うと、あなたが助かる確率は3分の1で、Bの助かる確率は3分の2に上がっています。
ここで前回の記事の問題に戻って結論を言うと、変えないままだと、当たる確率は3分の1で、変えると当たる確率は3分の2に上がります。
あなたはAの箱を選び、答えを知っているかつを君がBの箱には何も入っていないことを教えてくれたことから、残るはAとCの箱で、この2つの箱から選び直せるのだから、どちらの箱も当たる確率は2分の1だ。
よって、選択を変えようが変えまいが優劣は無いはず・・・。
ところが答えはそうはならない。
なぜでしょうか？
もう一度、最初から見てみましょう。
あなたの選んだAの箱が当たる確率は3分の1です。
そして、当然ですが、BとCのどちらかが当たる確率は3分の2ですね。
答えを知っているかつを君はBとCのうち、定額給付金が入っていない方を自動的に選んでしまうので、例えばBに何も入っていなかったことを教えてくれたら、Cの箱に入っている確率は3分の2になるのです。
この問題は1～100番まで番号のふられた、100個の箱を考えると分かりやすいかもしれません。
例えば、あなたは1番の箱を選びました。
この箱に入っている確率は1％ですね。
また、2番～100番までの箱のどれかに入っている確率は99％ですね。
そして、答えの知っているかつを君は例えば、2番～99番までの箱を開けて、何も入っていないことを教えてくれました。
あなたは1番と100番、どちらの箱を開けますか？
1番の箱が当たる確率が1％、100番の箱が当たる確率が99％ということが分かったと思います。
論理的な答えと直感とのズレが大きいので、とても奇妙に見えますね。
ちなみに、2番～99番までの箱を開けるというところを見ていない第三者が入って、1番と100番から選ぶ場合、確率はどちらも2分の1です。
さらに、
「AとBでは、どちらが死刑ですか？」
と聞くのではなく、
「Aは、恩赦ですか？死刑ですか？」
と聞いて、もし、Aが死刑だったとしたら、処刑される確率はあなたもBも2分の1になります。
う～ん、とっても不思議ですね♪笑
そして、なぜだか分からないけど、ありがたいことにこの3人のうち、一人が恩赦されることになりました。
しかし、3人共誰が死刑を免れるのか分かりません。
そこで、あなたは結果を知っている看守のかつを君に
「AとBのうちのどちらかが死刑になるのだから、処刑される方の名前を教えてくれても私に情報を与えることにならないだろう。その一人を教えてくれないか？」
と頼みました。
次のノーベル平和賞最大の候補と目されるほど優しさと慈しみに湧き溢れる、かつを君は目前の死に恐れおののく、この哀れな子羊に教えることにしました。
「囚人Aは処刑されるよ♪」
これを聞いたあなたは
「最初、自分が助かる確率は3分の1だった。でも、今はAの処刑が確定して、残るのは自分とBだけなので、助かる確率は2分の1に上がった！やっほーい♪」
と喜びました。
くだらん冗談はこの辺にして、本題に入りましょう。笑
前回の記事で出題した問題とこの三囚人問題は本質的に同じです。
では、”あなた”の最期のセリフを検証してみましょう。
一見、あなたの論理に隙は全くないように見えますが、結論から言うと、あなたが助かる確率は3分の1で、Bの助かる確率は3分の2に上がっています。
ここで前回の記事の問題に戻って結論を言うと、変えないままだと、当たる確率は3分の1で、変えると当たる確率は3分の2に上がります。
あなたはAの箱を選び、答えを知っているかつを君がBの箱には何も入っていないことを教えてくれたことから、残るはAとCの箱で、この2つの箱から選び直せるのだから、どちらの箱も当たる確率は2分の1だ。
よって、選択を変えようが変えまいが優劣は無いはず・・・。
ところが答えはそうはならない。
なぜでしょうか？
もう一度、最初から見てみましょう。
あなたの選んだAの箱が当たる確率は3分の1です。
そして、当然ですが、BとCのどちらかが当たる確率は3分の2ですね。
答えを知っているかつを君はBとCのうち、定額給付金が入っていない方を自動的に選んでしまうので、例えばBに何も入っていなかったことを教えてくれたら、Cの箱に入っている確率は3分の2になるのです。
この問題は1～100番まで番号のふられた、100個の箱を考えると分かりやすいかもしれません。
例えば、あなたは1番の箱を選びました。
この箱に入っている確率は1％ですね。
また、2番～100番までの箱のどれかに入っている確率は99％ですね。
そして、答えの知っているかつを君は例えば、2番～99番までの箱を開けて、何も入っていないことを教えてくれました。
あなたは1番と100番、どちらの箱を開けますか？
1番の箱が当たる確率が1％、100番の箱が当たる確率が99％ということが分かったと思います。
論理的な答えと直感とのズレが大きいので、とても奇妙に見えますね。
ちなみに、2番～99番までの箱を開けるというところを見ていない第三者が入って、1番と100番から選ぶ場合、確率はどちらも2分の1です。
さらに、
「AとBでは、どちらが死刑ですか？」
と聞くのではなく、
「Aは、恩赦ですか？死刑ですか？」
と聞いて、もし、Aが死刑だったとしたら、処刑される確率はあなたもBも2分の1になります。
う～ん、とっても不思議ですね♪笑
investor46 at 19:56
